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수학

정규분포함수를 이용하여 함수의 변곡점을 구하기

이 증명을 이해하기 위해선 확률과 통계, 미적분II (2009 개정 교육과정 기준)를 습득하셔야 합니다.




함수의 변곡점은 이계도함수를 이용하면 구할 수 있다. 함수를 두 번 미분해야 하는 수고를 해야 한다. 하지만 굳이 이계도함수를 안 구하고도 변곡점을 쉽게 구할 수 있는 함수들이 있다.


바로 정규분포함수를 이용하는 것이다. 일단 정규분포함수는 아래와 같다. (x는 확률변수, m은 기댓값/평균, 시그마(동그랗게 생긴 거)는 표준편차)



이 함수의 변곡점은 아래와 같다. 이계도함수를 이용하면 된다.



이걸 공식처럼 암기해두면 아래와 같은 함수식의 변곡점을 이계도함수를 안 쓰고 10초만에 구할 수 있다.



위 함수식을 정규분포함수의 유사한 모양으로 변형하면 아래와 같다.



즉, 기댓값/평균과 표준편차는 아래와 같다.



따라서 변곡점은 아래와 같다.


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