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수학

삼각치환법 안 쓰고 정적분하기

이 글은 미적분II (2009 개정 교육과정 기준) 현행이수자를 독자 타겟으로 잡았습니다. 적분법의 삼각치환법을 안 쓰고 정적분하는 방법을 대학수학의 미적분학 (Calculus)의 내용을 이용하여 알려줄 것입니다.




미적분II의 적분법 단원에서 삼각치환법 (삼각함수를 이용한 적분법)이 있다. 보통 아래와 같이 정의한다. (아래 말고도 여러가지 있으나, 자주 쓰이는 것만 적음.)



하지만 이 방법은 매우 귀찮으며 실수확률이 좀 있다. (나만 그런 것일 수도...). 그래서 미적분학 (Calculus)의 역삼각함수의 미분법을 미적분II에 적용해서 푸는 방법을 알려줄려고 한다.

우리는 지금까지 싸인(sin), 코싸인(cos), 탄젠트(tan) 함수랑 이의 역수인 코씨컨트(csc, cosec라고도 적음), 씨컨트(sec), 코탄젠트(cot) 함수를 배웠다. 이 sin, cos, tan 함수의 역함수인 아크싸인(arcsin), 아크코싸인(arccos), 아크탄젠트(arctan)이라는 것도 존재한다.


(-1 기호는 역함수를 나타냄. 수학II에서 배운 내용임. 범위를 제한한 이유는 함수의 일대일대응을 만족시키기 위함.)


예를 들어, arcsin1=π/2가 나온다.


이러한 아크(arc)함수들의 미분(d/dx)은 미적분학에선 아래와 같이 정의한다. 증명은 따로 적지 않겠다. 가끔 미적분II 고난이도 문제에서 증명을 이용해서 풀라는 문제가 있는데, 거의 드뭄... 그리고 이거 말고도 여러가지 있는데, 필요한 것만 적겠음.



이제 이 내용들을 미적분II에 적용해보면 (예시문제)



복잡해 보이겠지만 익숙해지면 삼각치환법보다 훨씬 편하다고 느끼고 암산이 가능해진다. 아 물론 시험때 서술형으로 이거 쓰면 무조건 감점이다...